Question

8．求定积分${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$-x）dx．

Answer 1

分析 先根据定积分的几何意义求出${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\frac{π}{2}$，再根据定积分的法则求出${∫}_{0}^{4}$xdx，问题得以解决．

解答 解：${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx-${∫}_{0}^{4}$xdx，
因为y²=1-（x-1）²表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，
所以${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积一半，
所以${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\frac{π}{2}$，
所以${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$-x）dx=${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$dx-${∫}_{0}^{4}$xdx=$\frac{π}{2}$-$\frac{1}{2}{x}^{2}$|${\;}_{0}^{4}$=$\frac{π}{2}$-8

点评 本题考查了定积分的几何意义，属于基础题．