Question

2．已知在${（\frac{1}{x}+2\root{3}{x}）^n}$的展开式中二项式系数和为256．
（1）求展开式中常数项；
（2）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）依题意知展开式中的二项式系数的和为2ⁿ=256，由此求得n的值，再根据通项公式即可求出展开式中常数项．
（2）展开式中的二项式系数最大的项为中间项，即第五项，从而求得结果．

解答 解：（1）二项式系数和为2ⁿ=256，∴n=8，
其通项公式为C₈^r2^r${x}^{-8+\frac{4}{3}r}$，（0≤r≤8，r∈N），
令-8+$\frac{4}{3}$r=0，即r=6，
∴展开式中常数项C₈⁶2⁶=1792；
（2）∵n=8，
∴展开式中的二项式系数最大的项为中间项，即第五项，
∴r=4
∴二项式系数最大的项为T₅=C₈⁴2⁴${x}^{-\frac{8}{3}}$=1120${x}^{-\frac{8}{3}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．