Question

11．设函数f（x）=e^-x（x²-ax+a），a≥0．．
（I ）讨论f（x）的单调性；
（II） （ i ）若a=0，证明：当x＞6 时，f（x）＜$\frac{1}{x}$
（ii）若方程f（x）=a有3个不同的实数解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）（i）a=0时，问题等价于x＞3lnx，设g（x）=x-3lnx，根据函数的单调性证明即可；
（ii）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-e^-x[x²-（a+2）x+2a]=-e^-x（x-2）（x-a）．…（1分）
（1）若a=2，则f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）单调递减．…（2分）
（2）若0≤a＜2，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值ae-a	↗	极大值（4-a）e-2	↘

此时f（x）在（-∞，a）和（2，+∞）单调递减，在（a，2）单调递增．…（3分）
（3）若a＞2，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

x	（-∞，2）	2	（2，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值（4-a）e-2	↗	极大值ae-a	↘

此时f（x）在（-∞，2）和（a，+∞）单调递减，在（2，a）单调递增．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）若a=0，则f（x）=x²e^-x，f（x）＜$\frac{1}{x}$即x³＜e^x．
当x＞6时，所证不等式等价于x＞3lnx，
设g（x）=x-3lnx，当x＞6时，g′（x）=1-$\frac{3}{x}$＞0，g（x）单调递增，
有g（x）＞g（6）=3（2-ln6）＞0，即x＞3lnx．
故当x＞6时，f（x）＜$\frac{1}{x}$．…（6分）
（ⅱ）根据（Ⅰ），
（1）若a=2，方程f（x）=a不可能有3个不同的实数解．…（7分）
（2）若0≤a＜2，令$\left\{\begin{array}{l}0≤a＜2\\ ae-a＜a，（4-a）e-2＞a\end{array}$解得0＜a＜$\frac{4}{{e}^{2}+1}$．…（8分）
当x＞6时，f（x）=e^-x（x²-ax+a）=e^-x[x²-a（x-1）]＜x²e^-x＜$\frac{1}{x}$，
则当x＞6且x＞$\frac{1}{a}$时，f（x）＜a．
又f（0）=a，所以当0＜a＜$\frac{4}{{e}^{2}+1}$时，方程f（x）=a有3个不同的实数解．（10分）
（3）若a＞2时，由于f（a）=ae^-a＜a，方程f（x）=a不可能有3个不同的实数解．
…（11分）
综上，a的取值范围是（0，$\frac{4}{{e}^{2}+1}$）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．