Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a
（Ⅰ） 当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ） 当m=2时，若函数g（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即m≤

x

lnx

记φ=

x

lnx

，则f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）_min．（3分）
求得φ′(x)=

lnx-1

ln2x

（4分）
当x∈（1，e）时；φ′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＞0（5分）
故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，
即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．（6分）
（II）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，
在[1，3]上恰有两个相异实根．（7分）
令g（x）=x-2lnx，则g′(x)=1-

2

x

（8分）
当x∈[1，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，3]时，g′（x）＞0
g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在（2，3]上是单调递增函数．
故g（x）_min=g（2）=2-2ln2（10分）
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）＞g（3），
∴只需g（2）＜a≤g（3），（12分）
故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]（13分）