Question

设函数f（x）=x²+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立．

Answer 1

分析：（1）当a=-6时，由f′（x）=0得x=2，可判断出当x∈（0，1）时，f（x）单调递减；当x∈（1，3]时，f（x）单调递增，从而得到f（x）在[0，3]上的最值．
（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使f′（x）=0在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x²+3x+1+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，可以利用一元二次函数根的分布，即可求a的范围．
（3）先构造函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令x=

1

n

，即可证得结论．

解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），
a=-6时，由f'（x）=2x+1-

6

x+1

=

(x-1)(2x+5)

x+1

=0，得x=1（x=-

5

2

舍去），
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，3]时，f′（x）＞0，
所以当x∈（0，2）时，f（x）单调递减；当x∈（1，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（1）=2-6ln2，f（x）_max=f（3）=12-12ln2，
（2）由题意f'（x）=2x+1+

a

x+1

=

2x2+3x+1+a

x+1

=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+3x+1+a=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+3x+1+a，则

△=9-8(1+a)＞0 g(-1)＞0

，解之得0＜a＜

1

8

；
（3）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
则h/（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈（0，+∞），则有ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．
即不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

（n∈N^*）恒成立

点评：本题以函数为载体，考查函数的最值，考查函数的单调性．第一问判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点是解题的关键，第三问的关键是构造新函数，利用导数证明不等式．