Question

18．在锐角三角形ABC中，∠BAC=45°，AD为BC边上的高，且BD=2，DC=3，则三角形ABC的面积是15．

Answer 1

分析 设∠CAD=α，∠BAD=β，AD=h，α+β=45°，tanα=$\frac{3}{h}$，tanβ=$\frac{2}{h}$，tan（α+β）展开即可求出h．

解答 解：设∠CAD=α，∠BAD=β，AD=h，α+β=45°：
则tanα=$\frac{3}{h}$，tanβ=$\frac{2}{h}$，
∵tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$，
∴tan45°=$\frac{\frac{3}{h}+\frac{2}{h}}{1-\frac{3}{h}•\frac{2}{h}}=1$，
即h²-5h-6=0，
解得h=6或h=-1，（舍），
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}BC•h$=$\frac{1}{2}×5×6$=15，
故答案为：15．

点评 本题主要考查三角形面积的求解，根据两角和差的正切公式求出三角形的高是解决本题的关键．