Question

已知向量

.

a

=(4cosB，

3

cos2B-2cosB)，

.

b

=(sin2(

π

4

+

B

2

)，1)，f(B)=

.

a

•

.

b

（1）若f（B）=2且0＜B＜π，求角B
（2）若对任意的B∈(0，

π

2

)，f(B)-m＞2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

.

a

=(4cosB，

3

cos2B-2cosB)，

.

b

=(sin2(

π

4

+

B

2

)，1)，f(B)=

.

a

•

.

b

，代入向量数量积公式，利用二倍角公式及辅助角我们易得函数的解析式，进而根据f（B）=2且0＜B＜π，构造三角方程，即可求出角B；
（2）由（1）中解析式，我们易求出当B∈(0，

π

2

)时，函数的值域，进而根据f（B）-m＞2恒成立，即函数的最小值满足f（B）-m＞2，求出m的取值范围．

解答：解：（1）∵向量

.

a

=(4cosB，

3

cos2B-2cosB)，

.

b

=(sin2(

π

4

+

B

2

)，1)=（

1-sinB

2

，1）
∴f(B)=

.

a

•

.

b

=2cosB（1-sinB）+

3

cos2B-2cosB
=-sin2B+

3

cos2B
=2sin（2B+

2π

3

）
若f（B）=2，则2B+

2π

3

=

π

2

+2kπ，k∈Z
即B=-

π

12

+kπ，k∈Z
又∵0＜B＜π，
∴B=

11π

12

（2）由（1）中f（B）=2sin（2B+

2π

3

）
当B∈(0，

π

2

)时，
2B+

2π

3

∈（

2π

3

，

5π

3

）
则f（B）∈[-2，1）
若f（B）-m＞2
则m＜-4

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，三角函数的恒等变换及化简求值，其中根据已知条件求出函数的解析式，是解答本题的关键．