Question

9．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线右支上一点，则$\overrightarrow{P{A_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值为（　　）

• A． -4
• B． $-\frac{81}{16}$
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根据题意，设P（x，y）（x≥1），根据双曲线的方程，易得A₁、F₂的坐标，将其代入$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$中，可得关于x、y的关系式，结合双曲线的方程，可得$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$的二次函数，由x的范围，可得答案．

解答 解：根据题意双曲线${x^2}-\frac{y^2}{8}=1$，设P（x，y）（x≥1），
易得A₁（-1，0），F₂（3，0），
$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-1-x，y）•（3-x，y）=x²-2x-3+y²，
又${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$，故y²=8（x²-1），
于是$\overrightarrow{P{A}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=9x²-2x-11=9（x-$\frac{1}{9}$）2-$\frac{100}{9}$，
当x=1时，取到最小值-4；
故答案为：-4．

点评 本题考查双曲线方程的应用，涉及最值问题；解题的思路是先设出变量，表示出要求的表达式，结合圆锥曲线的方程，将其转化为只含一个变量的关系式，进而由不等式的性质或函数的最值进行计算．