题目内容

已知关于x的方程lnx-ax=0恰有一个实根，则实数a的取值范围________．

$\text{[math]}$
分析：先构造函数y=lnx-ax，借助于导数，进行分类讨论，可知当a≤0时，（0，1]之间必有一个实根；a= $\text{[math]}$ 时，也恰有一个实根．
解答：设y=lnx-ax，则y'= $\text{[math]}$ =0， $\text{[math]}$ ，y“= $\text{[math]}$
当a≤0，y'＞0，最多有一个实根，因 y（0-）＜0，y（1）≥0，所以（0，1]之间必有一个实根
a＞0， $\text{[math]}$ ，y=-lna-1为极大值，此极大值若为0的话，则有一个实根，此时a= $\text{[math]}$ 此极大值若大于0的话，会有两个实根，此极大值若小于0的话，则无实根．
因此a的取值范围为： $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题利用导数解决方程根的个数问题，有一定难度，应注意细细体会．

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