Question

已知α，β，γ，满足0＜α＜β＜γ＜2π，若?x∈R，cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）=0，则γ-α=

4π

3

．

Answer 1

分析：设f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），通过赋值f（-α）=0，f（-β）=0，f（-γ）=0，可求得cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-

1

2

，结合已知0＜α＜β＜γ＜2π，即可求得答案．

解答：解：设f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），
由题意知，?x∈R，f（x）=0恒成立，
则f（-α）=f（-β）=f（-γ）=0，
∴cos（β-α）+cos（γ-α）=cos（β-α）+cos（γ-β）=cos（γ-α）+cos（γ-β）=-1，
故cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-

1

2

．
由于0＜α＜β＜γ＜2π，
故β-α，γ-β，γ-α∈{

2π

3

，

4π

3

}，
从而γ-α=

4π

3

．

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，突出考查构造函数思想与赋值法的应用，考查综合分析与运算的能力，属于难题．