题目内容
已知数列an，bn，xn满足a1=b1=2，an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，xn=| an |
| bn |
（1）填空：当n≥2时，xn
（2）求证：xn+1与xn中一个比
| 5 |
| 5 |
| 5 |
（3）若数列{|xn-
| 5 |
| 5 |
分析：（1）将xn=
中分子an进行代换，再与1比较．
（2）考查xn+1-
，xn-
两个式子的积或商的符号为负，即可得证．xn+1与xn中哪一个更接近于
，可用与
的差的绝对值去衡量，绝对值小，表明更接近．
（3）有（1）（2）的基础上，进一步应用{|xn-
|}的递推关系，逐项放缩，转化成特殊数列的和，视情况可再继续转化化简，直至得证．
| an |
| bn |
（2）考查xn+1-
| 5 |
| 5 |
| 5 |
| 5 |
（3）有（1）（2）的基础上，进一步应用{|xn-
| 5 |
解答：解：（1）xn=
=
=1+4
＞1（n≥2）
（2）∵an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，由x1=
=1，知x2＞1，x3＞1，，xn＞1
∴
=1+
，
=
+1，即xn+1=1+
．
xn+1-
=
，
=
＜0
所以xn+1与xn中一个比
大，一个比
小
又∵
=
＜
＜1∴xn+1更接近
（3）由（2）知，|xn+1-
|＜
|xn-
|＜…＜(
)n|x1-
|
∴Sn＜|x1-
|[1+
+(
)2+…+(
)n-1]
=(
-1)
＜
=
+1．
| an |
| bn |
| bn+4bn-1 |
| bn |
| bn-1 |
| bn |
（2）∵an+1=bn+1+4bn，bn+1=an+bn，由x1=
| a1 |
| b1 |
∴
| an+1 |
| bn+1 |
| 4bn |
| bn+1 |
| bn+1 |
| bn |
| an |
| bn |
| 4 |
| xn+1 |
xn+1-
| 5 |
(1-
| ||||
| xn+1 |
xn+1-
| ||
xn-
|
1-
| ||
| xn+1 |
所以xn+1与xn中一个比
| 5 |
| 5 |
又∵
|xn+1-
| ||
|xn-
|
| ||
| |xn+1| |
| ||
| 2 |
| 5 |
（3）由（2）知，|xn+1-
| 5 |
| ||
| 2 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 5 |
∴Sn＜|x1-
| 5 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
=(
| 5 |
1-(
| ||||
1-
|
2(
| ||
3-
|
| 5 |
点评：本题考查了比较大小的基本方法，等比数列求和，放缩法证明不等式，要求具有一定的分析解决问题的能力，化简计算能力．
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