Question

【题目】已知二次函数有两个零点-3和1，且有最小值-4.

（1）求的解析式；

（2）写出函数单调区间；

（3）令，若，证明：在上有唯一零点.

Answer 1

【答案】（1）;（2）的单调递减区间是,单调递增区间是;（3）详见解析.

【解析】

（1）根据二次函数有两个零点-3和1,设出二次函数,顶点坐标代入函数式,即可求出解析式;

（2）根据二次函数的开口方向和对称轴,求出单调区间;

（3）由,结合,判断在单调性,再由零点存在性原理即可得证.

（1）依题意可得抛物线的顶点坐标为,设

代入解析式得，

（2）由（1）得的对称轴方程为,开口向上,

所以的单调递减区间是,单调递增区间是.

（3）,其对称轴方程为,

所以在单调递递增,,

在没有零点; 在单调递减，且,

且抛物线开口向下,在上有唯一零点,

所以在上有唯一零点.