题目内容
【题目】已知f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a2(a∈R)，若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和．
(1)求g(x)和h(x)的解析式；
(2)若f(x)和g(x)在区间(－∞，(a＋1)2]上都是减函数，求f(1)的取值范围．
【答案】（1）g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋a2； （2）
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【解析】
(1)先设
所以
，解方程组即得g(x)、h(x).(2)由题得－
≥(a＋1)2且a＋1<0，从而－
≤a<－1，再利用二次函数求f(1)的取值范围．
(1) 设所以
，
解之即得g(x)＝(a＋1)x，h(x)＝x2＋a2.
(2)因为f(x)和g(x)在区间(－∞，(a＋1)2]上都是减函数，
所以－≥(a＋1)2，即－≤a≤－1，
且a＋1<0，即a<－1，
从而 －≤a<－1，
又f(1)＝a＋2＋a2，可看成是关于变量a的函数f(a)，又f(a)在区间[－，－1)上单调递减，所以f(1)的取值范围为2<f(1)≤
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