Question

对任意x∈R，函数f（x）满足f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，设a_n=[f（n）]²-f（n），数列{a_n}的前15项的和为-

31

16

，则f（15）=______．

Answer 1

∵f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，
∴f(x+1)-

1

2

=

f(x)-[f(x)]2

，
两边平方得[f(x+1)-

1

2

]2=f(x)-[f(x)]2
?[f(x+1)]2-f(x+1)+

1

4

=f(x)-[f(x)]2，
即an+1+an=-

1

4

，即数列{a_n}任意相邻两项相加为常数-

1

4

，
则S15=7×(-

1

4

)+a15=-

31

16

?a15=-

3

16

，
即[f(15)]2-f(15)=-

3

16

?f(15)=

3

4

或f(15)=

1

4

，
又由f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

≥

1

2

，
可得f(15)=

3

4

．
故答案为：

3

4

．