题目内容
（2012•无为县模拟）对任意x∈R，函数f（x）=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是（ ）
分析：由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，分别讨论a=0和a≠0时，a的取值，综合讨论结果可得答案．
解答：解：∵f（x）=ax3+ax2+7x
∴f′（x）=3ax2+2ax+7
若a=0，则f′（x）=7＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
若a≠0，则△=4a2-84a≤0时，即0＜a≤21时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
综上函数f（x）=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是0≤a≤21
故选A
∴f′（x）=3ax2+2ax+7
若a=0，则f′（x）=7＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
若a≠0，则△=4a2-84a≤0时，即0＜a≤21时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在R上为增函数，满足条件
综上函数f（x）=ax3+ax2+7x不存在极值点的充要条件是0≤a≤21
故选A
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中a=0这种情况易被忽略．
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