Question

（2011•东城区二模）对任意x∈R，函数f（x）满足f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，设a_n=[f（n）]²-f（n），数列{a_n}的前15项的和为-

31

16

，则f（15）=

3

4

．

Answer 1

分析：通过f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

推出数列第n项与第n+1项的关系，找出规律，求出a₁₅，然后解出f（15）=的值．

解答：解：∵f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

，
∴f(x+1)-

1

2

=

f(x)-[f(x)]2

，
两边平方得[f(x+1)-

1

2

]2=f(x)-[f(x)]2
⇒[f(x+1)]2-f(x+1)+

1

4

=f(x)-[f(x)]2，
即an+1+an=-

1

4

，即数列{a_n}任意相邻两项相加为常数-

1

4

，
则S15=7×(-

1

4

)+a15=-

31

16

⇒a15=-

3

16

，
即[f(15)]2-f(15)=-

3

16

⇒f(15)=

3

4

或f(15)=

1

4

，
又由f(x+1)=

f(x)-[f(x)]2

+

1

2

≥

1

2

，
可得f(15)=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题是中档题，考查数列与函数的关系，数列的递推关系式，推出数列中的规律是解题的关键，注意验证数列的项是否在数列中，考查计算能力．