已知向量$\overrightarrow{m}$=.$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$.cos2$\frac{x}{2}$).设函数f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．在区间[0.π]上的零点,(Ⅱ)△ABC中.若A=$\frac{π}{3}$.B是△ABC中的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，π]上的零点；
（Ⅱ）△ABC中，若A=$\frac{π}{3}$，B是△ABC中的最大内角，求f（B）的取值范围．

分析（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角的正弦，余弦公式，以及两角差的正弦公式，运用特殊角的函数值，即可得到所求零点；
（Ⅱ）由题意可得$\frac{π}{3}$≤B＜π，运用正弦函数的图象和性质，可得f（B）的最值，即可得到所求范围．

解答解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），
可得函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1+cosx}{2}$
=sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
由f（x）=0，可得sin（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
即x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即为x=2kπ+$\frac{π}{3}$或2kπ+π，k∈Z，
由x∈[0，π]，可得f（x）的零点为$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）A=$\frac{π}{3}$，B是△ABC中的最大内角，
即为B≥$\frac{π}{3}$，B≥π-$\frac{π}{3}$-B，解得$\frac{π}{3}$≤B＜π，
则f（B）=sin（B-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
由$\frac{π}{6}$≤B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得$\frac{1}{2}$≤sin（B-$\frac{π}{6}$）≤1，
即为0≤f（B）≤$\frac{1}{2}$，
则f（B）的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]．

点评本题考查向量的数量积的坐标表示，以及二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．