Question

12．已知数列{a_n}为首项为a的等差数列，数列{${a_{2^n}}$+2ⁿ}是公比为q的等比数列，则q=1，或2，实数a的取值范围是a≠-1．

Answer 1

分析 利用等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∴a₂+2=a+2+d，a₄+4=a+3d+4，a₈+8=a+7d+8，
∵数列{${a_{2^n}}$+2ⁿ}是公比为q的等比数列，
∴（a+3d+4）²=（a+2+d）（a+7d+8），
化为：d=-1或d=a．
①d=-1时，a₂+2=a+1，a₄+4=a+1，a₈+8=a+1，
a≠-1时，q=1．
②d=a，a₂+2=2a+2，a₄+4=4a+4，a₈+8=8a+8，
a≠-1时，q=2．
综上可得：q=1，2，a≠-1．
故答案分别为：q=1，2；a≠-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．