Question

15．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式变形，利用倍角公式降幂再用两角差的正弦化积，则周期可求；
（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求出sin（2x$-\frac{π}{6}$）的范围得答案．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1-cos2x}{2}+\sqrt{3}sin2x-sin（x+\frac{π}{4}）sin（\frac{π}{4}-x）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\sqrt{3}sin2x-\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}+2x）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\sqrt{3}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x+\frac{1}{2}$=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∴$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[$-\frac{π}{3}，π$]，
则$2x-\frac{π}{6}∈$[-$\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}$]，sin（2x$-\frac{π}{6}$）∈[-1，1]．
∴f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分别为$\frac{5}{2}$和-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．