Question

若函数f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．
（1）求m的值．
（2）若点A（x，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈[0，]，求点A的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式将f（x）=sin²ax-sinaxcosax化为f（x）=-sin（2ax+）+，结合函数图象可得所以m为f（x）的最大值或最小值．
（2）切点的横坐标依次成公差为 的等差数列．得出f（x）的最小正周期为．从而a=2，确定出f（x）解析式．若点A（x，y）是y=f（x）图象的对称中心则应有y=0=f（x），利用特殊角的三角函数值解此方程求出x．
解答：解：（1）f（x）=（1-cos2ax）-sin2ax
=-（sin2ax+cos2ax）+=-sin（2ax+）+
因为y=f（x）的图象与y=m相切．所以m为f（x）的最大值或最小值．
即m=或m=．
（2）因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列，所以f（x）的最小正周期为．
由T==得a=2．
∴f（x）=-sin（4x+）+．
由sin（4x+）=0得4x+=kπ，即x=-（k∈Z）．
由0≤-≤得k=1或k=2，
因此点A的坐标为（，）或（，）
点评：本题考查三角函数公式的应用（包括正用，逆用）、三角函数图象及性质（最值、周期、对称点）、特殊角的三角函数值．需有转化、计算、方程的思想和能力．