Question

已知函数f（x）=sin²（

x

2

+

π

12

）+

3

sin（

x

2

+

π

12

）cos（

x

2

+

π

12

）一

1

2

．
（1）在△ABC中，若sinC=2sinA，B为锐角且有f（B）=

3

2

，求角A，B，C；
（2）若f（x）（x＞0）的图象与直线y=

1

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求数列{x_n}的前2n项和，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合正弦定理、余弦定理，即可求角A，B，C；
（2）由正弦曲线的对称性、周期性，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，f（x）=

1-cos(x+ π 6 )

2

+

3

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

=

3

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

cos(x+

π

6

)
=sin（x+

π

6

-

π

6

）=sinx
∵f（B）=

3

2

，∴sinB=

3

2

，
∵B为锐角，∴B=

π

3

．
∵sinC=2sinA，
∴c=2a，
∴b2=a2+4a2-2a•2acos

π

3

=3a²．
∴c²=a²+b²，∴△ABC为直角三角形，∴C=

π

2

，A=

2π

3

-

π

2

=

π

6

（2）由正弦曲线的对称性、周期性，可知

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，…，

x2n-1+x2n

2

=2(n-1)+

π

2

∴x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=π+5π+9π+…+（4n-3）π=nπ+

1

2

n(n-1)，
∴4π=（2n²-n）π．

点评：本题考查三角函数的化简，考查正弦、余弦定理的运用，考查正弦曲线的对称性、周期性，属于中档题．