Question

如图2-1-5,在四面体ABCD中,E、G分别为BC、AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:EF、GH、BD交于一点.

图2-1-5

Answer 1

思路分析:证明时可以首先证明GH和EF共面交于一点O,然后说明O是平面ABD和平面BCD的公共点,而平面ABD和平面BCD相交于直线BD,根据公理2,两平面相交,有且只有一条交线.因此点O在交线上,即点O在直线BD上.从而证明了直线EF、GH、BD都过点O.在该题中还涉及证明E、F、H、G四点共面的问题,又利用了公理2的推论.

证明:∵E、G分别为BC、AB的中点,

∴GE∥AC.

又∵DF∶FC=DH∶HA=2∶3,

∴FH∥AC,从而FH∥GE.故E、F、H、G四点共面.

∵AG∶GB=1∶1,AH∶HD=3∶2,

∴AG∶GB≠AH∶HD.

∴GH不平行于BD.

同理,EF也不平行于BD.

∴GH∥EF.

∴四边形EFHG是一个梯形,GH和EF交于一点O.

∵O在平面ABD内,又在平面BCD内,

∴O在这两平面的交线上.而这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条.

∴点O在直线BD上.

∴EF、GH、BD交于一点.

  绿色通道:证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,然后说明这个点在两个平面上,并且这两个平面相交,于是得到交线也过此点,从而得到三线共点.