在等腰梯形PDCB(图1)中.DC∥PB.PB=3DC=3.PD=2.DA⊥PB.垂足为A.将△PAD沿AD折起.使得PA⊥AB.得到四棱锥P-ABCD(图2)．在图2中完成下面问题:(1)证明:平面PAD⊥平面PCD,(2)点M在棱PB上.平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体.当这两个几何体的体积之比VPM-ACDVM-ABC=5:4时.求PMMB的值,的条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

在等腰梯形PDCB（图1）中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD（图2）．在图2中完成下面问题：
（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）点M在棱PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体（如图2），当这两个几何体的体积之比V_PM-ACDV_M-ABC=5：4时，求

PM

MB

的值；
（3）在（2）的条件下，证明：PD‖平面AMC．

分析：（1）由图1中DA⊥PB，可得折叠后DA⊥AB，DA⊥PA，进而DC⊥PA，DC⊥DA，由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PCD；
（2）设MN=h，则可得V_M-ABC=

h

3

，V_P-ABCD=

1

2

，则V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=

1

2

-

h

3

，结合V_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，可求出h值，进而得到

PM

MB

的值；
（3）在梯形ABCD中，连接AC、BD交于点O，连接OM．易知△AOB∽△DOC，所以在平面PBD中，有PD∥MO，进而由线面平行的判定定理得到答案．

解答：证明：（1）因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
所以在四棱锥P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA．…（1分）
又PA⊥AB，且DC∥AB，所以DC⊥PA，DC⊥DA，…（2分）
而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA∩DA=A，
所以DC⊥平面PAD．…（3分）
因为DC?平面PCD，
所以平面PAD⊥平面PCD．…（4分）
解：（2）因为DA⊥PA，且PA⊥AB
所以PA⊥平面ABCD，

又PA?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABC．
如图，过M作MN⊥AB，垂足为N，
则MN⊥平面ABCD．…（5分）
在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，
PB=3DC=3，PD=

2

，DA⊥PB，
所以PA=1，AB=2，AD=

PD2-PA2

=1．…（6分）
设MN=h，则V_M-ABC=

1

3

S_△ABC•h=

h

3

．…（7分）
V_P-ABCD=

1

3

S_梯形ABCD•PA=

1

2

V_PM-ABCD=V_P-ABCD-V_M-ABC=

1

2

-

h

3

．…（8分）
因为V_PM-ABCD：V_M-ABC=5：4，
所以（

1

2

-

h

3

）：

h

3

=5：4，解得h=

2

3

．…（9分）
在△PAB中，

BM

BP

=

MN

PA

=

2

3

，所以BM=

2

3

BP，MP=

1

3

BP．
所以PM：MB=1：2．…（10分）
（3）在梯形ABCD中，连接AC、BD交于点O，连接OM．
易知△AOB∽△DOC，所以

DO

OB

=

DC

AB

=

1

2

．…（11分）
又PM：MB=1：2，所以

DO

OB

=

PM

MB

，…（12分）
所以在平面PBD中，有PD∥MO．…（13分）
又因为PD?平面AMC，MO?平面AMC，
所以PD∥平面AMC．…（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答本题的关键．

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