Question

某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为200m²，高度一定的三段污水处理池（如图）．由于受地形限制，其长、宽都不能超过16m，如果池的外壁的建造费单价为400元/m，池中两道隔墙的建造费单价为248元/m，池底的建造费单价为80元/m²，试设计水池的长x和宽y（x＞y），使总造价最低，并求出这个最低造价．

Answer 1

分析：设水池的长为x，则宽为

200

x

，求出池外的造价；求出中间两条隔墙的造价；求出池底的造价；将三个造价加起来即为总造价；据长、宽都大于0小于等于16求出定义域．求出导函数，判断导函数在定义域上的符号，判断出函数的单调性，利用单调性求出函数的最值．

解答：解：设污水池长为x m，则宽为

200

x

 m，设总价为Q（x），
则Q（x）=400（2x+2×

200

x

）+248×2×

200

x

+80×200=800（x+

324

x

）+16000
由题设条件

0＜x≤16 0＜ 200 x ≤16

∴12.5≤x≤16，即函数定义域为[12.5，16]
求导函数得：y′=800(1-

324

x2

)
当x∈[12.5，16]时，y'＜0；
故函数y=f（x）在[12.5，16]上是减函数．（10分）
∴当x=16时，y取得最小值，
此时ymin=800(16+

324

16

)+16000=45000，

200

x

=

200

16

=12.5
综上，当污水处理池的长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，最低为45000元．

点评：本题考查的重点是函数模型的构建，考查将实际问题中的最值问题转化为数学中的函数最值，考查利用导函数的符号判断函数的单调性、利用函数的单调性求出函数的最值，属于中档题．