Question

某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).

 (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.

(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.

Answer 1

(1) y=800(x+)+1600，函数定义域为［12.5，16］ (2) 当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.

解析:

  (1)因污水处理水池的长为x米，则宽为米，

总造价y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由题设条件 

解得12.5≤x≤16,即函数定义域为［12.5，16］.

(2)先研究函数y=f(x)=800(x+)+16000在［12.5,16］上的单调性，

对于任意的x₁,x₂∈［12  5,16］,不妨设x₁＜x₂,

则f(x₂)－f(x₁)=800［(x₂－x₁)+324()］=800(x₂－x₁)(1－),

∵12.5≤x₁≤x₂≤16.

∴0＜x₁x₂＜16²＜324,∴>1,即1－＜0.

又x₂－x₁>0,∴f(x₂)－f(x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁),

故函数y=f(x)在［12.5,16］上是减函数.

∴当x=16时，y取得最小值，此时，y_min=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）

综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.