Question

【题目】从数列中抽出一项，依原来的顺序组成的新叫数列的一个子列.

（1）写出数列的一个是等比数列的子列；

（2）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列，为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）注意到，所以子数列为；（2）假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为.由于，对分成和两类进行分类讨论，退出矛盾，所以假设不成立，不存在这样的子列.

试题解析：

（1） .

（2）证明: 假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为.①当时，,且数列是递减数列，所以也为递减数列且, 令, 得，即存在，使得，这与矛盾. ②当时，，数列是递增数列，所以也为递增数列且为正整数，且，所以存在正整数使得，

令，则，即，但这与矛盾，说明假设不成立.所以数列不存在是无穷等差数列子列.