Question

20．已知函数$f（x）=cos（\frac{2π}{3}x）+（a-1）sin（\frac{π}{3}x）+a，g（x）={2^x}-{x^2}$，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，\sqrt{3}-1]$
• B． （-∞，0]
• C． [0，$\sqrt{3}$-1]
• D． $（-∞，1-\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2^xln2-2x．设g′（x₀）=0，利用单调性可得：g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x₀）]，（g（x₀）=2x0-x02）．由f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，可得$cos（\frac{2π}{3}t）$+（a-1）$sin（\frac{π}{3}t）$+a≤0，a≤2$sin\frac{π}{3}t$-1=h（t），t∈[1，g（x₀）]，即可得出．

解答 解：令t=g（x），x∈[0，1]，则g′（x）=2^xln2-2x
设g′（x₀）=0，则函数在[0，x₀]上单调递增，在[x₀，1]上单调递减，
g（x）在x∈[0，1]上的值域为[1，g（x₀）]，（g（x₀）=2x0-x02＜2）．
∵f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，
∴f（t）≤0，即$cos（\frac{2π}{3}t）$+（a-1）$sin（\frac{π}{3}t）$+a≤0，
a≤$\frac{sin\frac{πt}{3}-cos\frac{2πt}{3}}{1+sin\frac{πt}{3}}$=2$sin\frac{π}{3}t$-1=h（t），t∈[1，g（x₀）]，
则h（t）的最小值=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1=$\sqrt{3}$-1．
∴a≤$\sqrt{3}$-1．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．