Question

港口A北偏东30°方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？

Answer 1

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，进而可求sin∠CDB，由三角形的内角和定理可得sin∠ACD=sin(∠CDB-

π

3

)，再在△ACD中，由正弦定理知，

AD

sin∠ACD

=

CD

sin∠A

，可求AD

解答：解：在△BDC中，由余弦定理可得，cos∠CDB=

BD2+CD2- BC2

2BD•CD

=-

1

7

∴sin∠CDB=

4 3

7

∴sin∠ACD=sin(∠CDB-

π

3

)=sin∠CDBcos

π

3

-cos∠CDBsin

π

3

=

5 3

14

在△ACD中，由正弦定理知，

AD

sin∠ACD

=

CD

sin∠A

∴AD=

5 3 14 ×21

3 2

=15
船距港口还有15海里．

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度（角度），然后根据相应的公式来解决问题．