Question

港口A北偏东30°方向的B处有一小岛，A正东方向的C处有一渔船，该渔船距岛B为31海里，现该渔船从C处沿着正西方向航行20海里到D处后出现机械故障最多只能航行12海里，此时测得渔船距离小岛B还有21海里，故只能继续向港口航去，问该渔船最终是否需要港口派船在海上救援？

Answer 1

分析：在△BCD中利用余弦定理，算出cos∠CDB=-

1

7

，结合同角三角函数关系得到sin∠CDB=

4 3

7

，再用差角的正弦公式算出sin∠BAD=

5 3

14

．最后在△ACD中用正弦定理，得到AD=15，说明渔船不能到岸，因此需要港口派船在海上救援．

解答：解：在△BCD中，BC=31，BD=21，CD=20
∴由余弦定理可得，cos∠CDB=

BD2+CD2-BC2

2BD•CD

=-

1

7

∴sin∠CDB=

1-cos2∠CDB

=

4 3

7

由此可得：sin∠BAD=sin（∠CDB-60°）=sin∠CDBcos60°-cos∠CDBsin60°=

5 3

14

在△ACD中，由正弦定理，可得

AD

sin∠BAD

=

BD

sin∠BAD

，
即

AD

5 3 14

=

21

3 2

，解之得AD=15
∴渔船距港口还有15海里，无法到达港口，因此需要港口派船在海上救援．

点评：本题给出实际应用问题，讨论渔船是否需要海上救援．着重考查了运用正余弦定理三角形及其实际应用等知识，属于中档题．