题目内容
【题目】如图，矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，
为
的中点.
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ) 求
，
，求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由矩形
和菱形
所在的平面相互垂直，
，进而证得
平面，证得
，再根菱形ABEF的性质，证得
，利用线面垂直的判定定理，即可证得
平面
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知
，
，
两两垂直，以
为原点，为
轴，为
轴，为
轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD和平面ACG一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
（Ⅰ）证明：∵矩形和菱形所在的平面相互垂直，，
∵矩形
菱形
，∴平面，
∵AG
平面，∴，
∵菱形中，
，
为
的中点，∴
，∴，
∵
，∴平面.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知，，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
∵
，
，则
，
，
故
，
，
，
，
则
，
，
，
设平面
的法向量
，则
，
取
，得
，
设平面
的法向量
，则
，
取
，得
，
设二面角
的平面角为
，则
，
由图可知为钝角，所以二面角的余弦值为 .
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