Question

【题目】已知是数列的前项和，且，，数列中，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的前项和；

（3）证明：对一切，

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）当时，构造，变形为，再求数列的通项公式；

（2）由已知变形为，利用累加法求数列的通项公式，然后再求数列的通项公式，利用错位相减法求和；

（3）表示求数列的前项和，然后将通项放缩为时，，然后利用裂项相消法求和.

（1）时，可得，

时，，，两式相减，

得 ，，

，

数列的奇数项和偶数项分别成以4为公差的等差数列，

当，时，，

当，时， ，

，.

（2） ,

，即 ，

整理为：，

，

，

，

…………………………,

，时，

这个式子相加可得 ，

，当时，成立，

，，

，

，

，

两式相减可得：

，

（3）表示求数列的前项和，设前项和为，

当时，成立，

当时，

.

综上可知，

对一切，.