Question

8．求下列函数的值域．
（1）f（x）=$\frac{2}{x+1}$；
（2）f（x）=$\frac{2}{x+1}$（x＜-2）；
（3）f（x）=$\frac{x}{x+1}$；
（4）f（x）=$\frac{x}{x+1}$（x≥0）．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{2}{x+1}≠0$便可得出该函数的值域；
（2）由x的范围，可以求出x+1的范围，进一步得到$\frac{1}{x+1}$的范围，从而便可得出该函数的值域；
（3）分离常数，$f（x）=1-\frac{1}{x+1}$，从而由$\frac{1}{x+1}≠0$便得到f（x）≠1，这样便得出了该函数的值域；
（4）根据上面$f（x）=1-\frac{1}{x+1}$，由x的范围，可以得出$\frac{1}{x+1}$的范围，进一步可以得出f（x）的范围，即得出该函数的值域．

解答 解：（1）$\frac{2}{x+1}≠0$，即y≠0；
∴该函数的值域为{y|y≠0}；
（2）x＜-2；
∴x+1＜-1；
∴$-1＜\frac{1}{x+1}＜0$；
∴-2＜f（x）＜0；
∴该函数的值域为（-2，0）；
（3）$f（x）=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$；
$\frac{1}{x+1}≠0$；
∴f（x）≠1；
∴该函数的值域为{f（x）|f（x）≠1}；
（4）$f（x）=1-\frac{1}{x+1}$；
x≥0；
∴x+1≥1；
∴$0＜\frac{1}{x+1}≤1$；
∴0≤f（x）＜1；
∴该函数的值域为[0，1）．

点评 考查函数值域的概念，根据不等式的性质求函数值域，分离常数法求函数值域，要清楚反比例函数的值域．