Question

17．分解因式：
①x⁴-4x³+x²+4x+1；
②a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）+2abc．

Answer 1

分析 ①提取公因式、配方可得：x⁴-4x³+x²+4x+1=x²$（{x}^{2}-4x+1+\frac{4}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}）$=x²$（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4（x-\frac{1}{x}）+1）$=${x}^{2}[（x-\frac{1}{x}）^{2}-4（x-\frac{1}{x}）+3]$，在因式分解即可得出．
②a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）+2abc展开分组可得：（a²b+b²a）+（c²a+bc²）+（a²c+b²c+2abc）=ab（a+b）+c²（a+b）+c（a+b）²，再提取公因式即可得出．

解答 解：①x⁴-4x³+x²+4x+1
=x²$（{x}^{2}-4x+1+\frac{4}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}）$
=x²$（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-4（x-\frac{1}{x}）+1）$
=${x}^{2}[（x-\frac{1}{x}）^{2}-4（x-\frac{1}{x}）+3]$
=x²$（x-\frac{1}{x}-1）$$（x-\frac{1}{x}-3）$
=（x²-x-1）（x²-3x-1）．
②a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）+2abc
=a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+bc²+2abc
=（a²b+b²a）+（c²a+bc²）+（a²c+b²c+2abc）
=ab（a+b）+c²（a+b）+c（a+b）²
=（a+b）（ab+c²+ac+bc）
=（a+b）（b+c）（a+c）．

点评 本题考查了因式分解方法、乘法公式、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．