Question

1．已知a＞0．且a^2x=$\sqrt{2}$-1，求下列代数式的值．
（1）（a^x+a^-x）（a^x-a^-x）；
（2）$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{{a}^{x}-{a}^{-x}}$；
（3）$\frac{{a}^{3x}+{a}^{-3x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用平方差公式能求出（a^x+a^-x）（a^x-a^-x）的值．
（2）由$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{{a}^{x}-{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{2x}+1}{{a}^{2x}-1}$，利用已知条件能求出结果．
（3）由$\frac{{a}^{3x}+{a}^{-3x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{6x}+1}{{a}^{4x}+{a}^{2x}}$，利用已知条件能求出结果．

解答 解：（1）∵a＞0，且a^2x=$\sqrt{2}$-1，
∴（a^x+a^-x）（a^x-a^-x）=a^2x-a^-2x
=$\sqrt{2}-1$-$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$=$\sqrt{2}-1-（\sqrt{2}+1）$=-2．
（2）$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{{a}^{x}-{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{2x}+1}{{a}^{2x}-1}$
=$\frac{\sqrt{2}-1+1}{\sqrt{2}-1-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-2}$
=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{2}+2）}{2-4}$=-$\sqrt{2}-1$．
（3）$\frac{{a}^{3x}+{a}^{-3x}}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$=$\frac{{a}^{6x}+1}{{a}^{4x}+{a}^{2x}}$
=$\frac{（\sqrt{2}-1）^{3}+1}{（\sqrt{2}-1）^{2}+（\sqrt{2}-1）}$
=$\frac{5\sqrt{2}-6}{2-\sqrt{2}}$=$\frac{（5\sqrt{2}-6）（2+\sqrt{2}）}{4-2}$
=2$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质和运算法则的合理运用．