Question

3．函数f（x）=asin（x+$\frac{π}{4}$）+3sin（x-$\frac{π}{4}$）是偶函数，则a=-3，f（x）的最大值是3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得f（-x）=f（x），求得a的值，可得f（x）=-3$\sqrt{2}$cosx，由此求得f（x）的最大值．

解答 解：∵函数f（x）=asin（x+$\frac{π}{4}$）+3sin（x-$\frac{π}{4}$）是偶函数，则f（-x）=f（x），
即 asin（-x+$\frac{π}{4}$）+3sin（-x-$\frac{π}{4}$）=[asin（x+$\frac{π}{4}$）+3sin（x-$\frac{π}{4}$）]，
即-asinxcos$\frac{π}{4}$+acosxsin$\frac{π}{4}$-3（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）=asinxcos$\frac{π}{4}$+acosxsin$\frac{π}{4}$+3（sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$ ）．
求得a=-3．
故f（x）=-3sin（x+$\frac{π}{4}$）+3sin（x-$\frac{π}{4}$）=-3（sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$）+3（sinxcos$\frac{π}{4}$-cosxsin$\frac{π}{4}$）=-6cosxsin$\frac{π}{4}$=-3$\sqrt{2}$cosx，
故函数f（x）的最大值为3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的性质，余弦函数的值域，属于基础题．