Question

给定函数f（x）=-ax²+（a²-1）x和g（x）=x+。
（1）求证：f（x）总有两个极值点；
（2）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值。

Answer 1

解：（1）证明：因为f′（x）=x²-2ax+（a²-1）=[x-（a+ 1）]·[x-（a-1）]，
令f′（x）=0，
解得x₁=a+1，x₂=a-1，
当x＜a-1时f′（x）＞0；
当a-1＜x＜a+1，f′（x）＜0，
所以x=a-1为f（x）的一个极大值点，
同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点，
所以f（x）总有两个极值点；
（2）因为，
令g′（x）=0，则x₁=a，x₂=-a，
因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x₁=a和a+1，a-1不可能相等，
所以当-a=a+1时，；
当-a=a-1时，，
经检验，当和时，x₁=a，x₂=-a都是g（x） 的极值点。