Question

（2012•湖北模拟）给定函数f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0．
（1）a=-4时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜

1

2

时，求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（1）当a=-4时，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1），求导函数，即可确定函数的单调区间；
（2）求导函数，可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，令f'（x）=0，可知△=4-8a＞0，再进行分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数的极值点．

解答：解：（1）当a=-4时，f（x）=x²-4ln（x+1）（x＞-1）
求导函数，可得f′(x)=2x+

-4

x+1

=

2x2+2x-4

x+1

（2分）
令f'（x）=0，x²+x-2=0，∴x₁=-2（舍去）或x₂=1
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（-1，1）（5分）
（2）求导函数，可得f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

（7分）
令f'（x）=0，则2x²+2x+a=0，

∵a＜ 1 2

，∴△=4-8a＞0
①当a＜0时，x1=

-1- 1-2a

2

＜-1，x2=

-1+ 1-2a

2

＞0

x	（-1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴当a＜0时，f（x）有唯一极小值点x2=

-1+ 1-2a

2

（11分）
②当0＜a＜

1

2

时，-1＜x1＜x2

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴函数f（x）有极大值点为x1=

-1- 1-2a

2

＜-1，极小值为x2=

-1+ 1-2a

2

（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值点，解题的关键是正确求导，属于中档题．