Question

给定函数f（x）=log_a|log_ax|（a＞0，a≠1）．
（1）当f（x）＞0时，求x的取值范围；
（2）当0＜a＜1，x＞1时，判断f（x）的单调性并予以证明．

Answer 1

分析：（1）对a值分类讨论：0＜a＜1时；a＞1时，根据当a＞1时，f（x）在定义域内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知|log_ax|＞1进而求得x的范围，同理求出当0＜a＜1时的x的取值范围．
（2）利用定义法（作差法），任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，确定f（x₁）-f（x₂）的符号，即可根据单调性的定义得到结论．

解答：解：（1）0＜a＜1时，由f（x）＞0⇒0＜|log_ax|＜1⇒0＜log_ax＜1或-1＜log_ax＜0，
∴a＜x＜1或1＜x＜

1

a

．
a＞1时，由f（x）＞0⇒|log_ax|＞1⇒log_ax＞1或log_ax＜-1，
∴x＞a或0＜x＜

1

a

．
（2）当0＜a＜1，x＞1时，f（x）单调递减．证明如下：
设1＜x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=loga(-logax1)-loga(-logax2)=loga

logax1

logax2

=logalogx2x1，
由于1＜x₁＜x₂，
所以0＜logx2x1＜logx2x2=1，又0＜a＜1，故logalogx2x1＞0．
∴f（x）单调递减．

点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数、函数单调性的判断与证明，对数运算性质，是必须一难点的集中考查，熟练掌握函数单调性、对数的运算性质是解答的关键．