Question

设直线l：y=x+m，双曲线，双曲线的离心率为，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意知双曲线的方程可化为2x²-y²=2a²．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由得：x²-2mx-m²-2a²=0．由此可知4a²=m²+3．
（2）由题意知（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m），由得m²=a²，由得a²=1则b²=2．故双曲线的方程为；
（3）由题意知，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由得：．设直线MN的方程为．由得：．由此可求出λ的取值范围是．
解答：（1）∵双曲线的离心率为，
∴，从而b²=2a²．
双曲线的方程可化为2x²-y²=2a²．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由
得：x²-2mx-m²-2a²=0
则有x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-m²-2a²
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=2m²-2a²
∵
则-m²-2a²+2m²-2a²=-3，即4a²=m²+3；
（2）∵，
∴（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
∴，
由得m²=a²
由得a²=1则b²=2
故双曲线的方程为；
（3）易知，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由得：
设直线MN的方程为．
由得：
则，
消去y₁，y₂得：
∵，
∴，
解得或
当t=0时，可求出λ=1．
当直线MN与x轴重合时，
可求出或
故λ的取值范围是．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．