Question

设直线l：y=x+m，双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，双曲线的离心率为

3

，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且

OP

•

OQ

=-3，

PR

=3

RQ

.
（1）证明：4a²=m²+3；
（2）求双曲线E的方程；
（3）若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且

MF

=λ

FN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知双曲线的方程可化为2x²-y²=2a²．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由

y=x+m 2x2-y2=2a2

得：x²-2mx-m²-2a²=0．由此可知4a²=m²+3．
（2）由题意知（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m），由

-x1=3x2 x1+x2=2m x1•x2=-m2-2a2

得m²=a²，由

m2=a2 4a2=m2+3

得a²=1则b²=2．故双曲线的方程为x2-

y2

2

=1；
（3）由题意知F(

3

，0)，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由

MF

=λ

FN

得：

3 -x1=λ(x2- 3 ) -y1=λy2

．设直线MN的方程为x=ty+

3

．由

x=ty+ 3 2x2-y2=2

得：(2t2-1)y2+4

3

ty+4=0．由此可求出λ的取值范围是(-∞，-2-

3

]∪[-2+

3

，+∞)．

解答：（1）∵双曲线的离心率为

3

，
∴e=

c

a

=

3

，从而b²=2a²．
双曲线的方程可化为2x²-y²=2a²．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y=x+m 2x2-y2=2a2

得：x²-2mx-m²-2a²=0
则有x₁+x₂=2m，x₁•x₂=-m²-2a²
从而y₁+y₂=4m，y₁y₂=2m²-2a²
∵

OP

•

OQ

=-3，∴x1x2+y1y2=-3
则-m²-2a²+2m²-2a²=-3，即4a²=m²+3；
（2）∵R(0，m)，

PR

=3

RQ

，
∴（-x₁，m-y₁）=3（x₂，y₂-m）
∴

-x1=3x2 m-y1=3(y2-m)

，
由

-x1=3x2 x1+x2=2m x1•x2=-m2-2a2

得m²=a²
由

m2=a2 4a2=m2+3

得a²=1则b²=2
故双曲线的方程为x2-

y2

2

=1；
（3）易知F(

3

，0)，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

MF

=λ

FN

得：

3 -x1=λ(x2- 3 ) -y1=λy2

设直线MN的方程为x=ty+

3

．
由

x=ty+ 3 2x2-y2=2

得：(2t2-1)y2+4

3

ty+4=0
则

y1+y2=- 4 3 t 2t2-1 y1•y2= 4 2t2-1

，
消去y₁，y₂得：

-λ

(1-λ)2

=

2t2-1

12t2

∵

2t2-1

12t2

=

1

6

-

1

12t2

＜

1

6

，
∴

-λ

(1-λ)2

＜

1

6

，
解得λ＞-2+

3

或λ＜-2-

3

当t=0时，可求出λ=1．
当直线MN与x轴重合时，
可求出λ=-2+

3

或λ=-2-

3

故λ的取值范围是(-∞，-2-

3

]∪[-2+

3

，+∞)．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．