题目内容
【题目】在三棱锥
中，
，
，平面
平面
，点
在棱
上.
若为的中点，证明：
.
若
与平面
所成角的正弦值为
，求
.
【答案】
证明见解析；
.
【解析】
取
的中点
，连接
，
.利用勾股定理求证
，进而得
，最后证出
.
以为坐标原点，的方向为
轴正方向，
的方向为
轴正方向，的方向为
轴正方向，建立空间直角坐标系
，设
，设平面
的法向量为
，根据
与平面所成角的正弦值为
，列式求得
，进而求
.
解：证明：取的中点，连接，.因为
，所以
.
又因为平面
平面
，且相交于，所以
平面，
所以
.
因为
，所以，
所以
，所以，
所以
，且
为
的中点，所以.
解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得
，
，
，
，
，
设，
则
.
设平面的法向量为.
由
，
，得
，
可取
，
所以
，
解得
（舍去），，则
所以
.
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