Question

设椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为（0，），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）椭圆的顶点为（0，），即b=，e==，所以a=2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，再由韦达定理和x₁x₂+y₁y₂=0，得-12m²-5=0这不可能，所以不存在存在直线l，使得以线段MN为直径的圆过原点．
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），由|MN|=|x₁-x₂|==．知=4为定值．
解答：解：（Ⅰ）椭圆的顶点为（0，），即b=，e==，所以a=2，
∴椭圆的标准方程为+=1
（Ⅱ）不存在．设l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由
得（3m²+4）y²+6my-9=0所以
因为x₁x₂+y₁y₂=0⇒（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=0
即，-12m²-5=0这不可能，所以不存在
（Ⅲ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由（2）可得：|MN|=|x₁-x₂|==．
由消去y，并整理得x²=，
|AB|=|x₃-x₄|=4，∴=4为定值．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．