Question

设椭圆C：（a＞b＞0） 的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，
(Ⅰ)求椭圆C的离心率；
(Ⅱ)若过A，Q，F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程：
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设，由知，
∵，
∴，
由，得F₁为的中点，
故，
∴，
故椭圆的离心率。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，即，
于是，
的外接圆圆心为，半径，
所以，由已知，得，解得：a=2，
∴，
所求椭圆方程为。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，
由得，
设，
则，
，
由于菱形对角线垂直，则，
故，
则，
，
由已知条件知k≠0且k∈R，
∴，∴，
故存在满足题意的P且m的取值范围是。