Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，椭圆C₁与抛物线C₂在第一象限的交点为P，|PF|=

5

3

．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）过点A（-1，0）的直线与椭圆C₁相交于M、N两点，求使

FM

+

FN

=

FR

成立的动点R的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）抛物线y²=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，设点P的坐标为（x₀，y₀），依据抛物线的定义，由|PF|=

5

3

，可求x₀．由点P在抛物线C₂上，且在第一象限可求点P的坐标，再由点P在椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上及c=1，a²=b²+c²=b²+1，可求a，b，从而可求椭圆的方程
（2）设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），则由

FM

+

FN

=

FR

，可得x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．利用设而不求的方法可得

y1-y2

x1-x2

=-

3(x+1)

4y

，设FR的中点为Q，则Q的坐标为(

x+1

2

，

y

2

)．由M、N、Q、A四点共线可得

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 +1

=

y

x+3

整理可得

解答：（1）解：抛物线C₂：y²=4x的焦点F的坐标为（1，0），准线为x=-1，
设点P的坐标为（x₀，y₀），依据抛物线的定义，由|PF|=

5

3

，得1+x₀=

5

3

，解得x0=

2

3

．
∵点P在抛物线C₂上，且在第一象限，∴

y

2 0

=4x0=4×

2

3

，解得y0=

2 6

3

．
∴点P的坐标为(

2

3

，

2 6

3

)．
∵点P在椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，∴

4

9a2

+

8

3b2

=1．
又c=1，且a²=b²+c²=b²+1，解得a²=4，b²=3．
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）解：设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、R（x，y），
则

FM

=(x1-1，y1)，

FN

=(x2-1，y2)，

FR

=(x-1，y)．
∴

FM

+

FN

=(x1+x2-2，y1+y2)．
∵

FM

+

FN

=

FR

，
∴x₁+x₂-2=x-1，y₁+y₂=y．①
∵M、N在椭圆C₁上，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1．
上面两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0．②
把①式代入②式得

(x+1)(x1-x2)

4

+

y(y1-y2)

3

=0．
当x₁≠x₂时，得

y1-y2

x1-x2

=-

3(x+1)

4y

．③
设FR的中点为Q，则Q的坐标为(

x+1

2

，

y

2

)．
∵M、N、Q、A四点共线，∴k_MN=k_AQ，即

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 +1

=

y

x+3

．④
把④式代入③式，得

y

x+3

=-

3(x+1)

4y

，化简得4y²+3（x²+4x+3）=0．
当x₁=x₂时，可得点R的坐标为（-3，0），
经检验，点R（-3，0）在曲线4y²+3（x²+4x+3）=0上．
∴动点R的轨迹方程为4y²+3（x²+4x+3）=0．

点评：圆锥曲线的性质与圆锥曲线的定义相结合，在解题时要注意灵活应用这样可以简化运算在直线与椭圆的位置关系中涉及到直线的斜率、线段的中点结合在一起的问题，“设而不求”得做法可以简化解题的基本运算，这是解决此类问题的重要方法．