Question

19．已知f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a^xg（x），$\frac{f（1）}{g（1）}+\frac{f（-1）}{g（-1）}=\frac{5}{2}$，在有穷数列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和不小于$\frac{63}{64}$的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 推导出[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′′=$\frac{{f}^{'}（x）g（x）-{g}^{'}（x）f（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，从而$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x单调递减，求出a=$\frac{1}{2}$，进而{$\frac{f（x）}{g（x）}$}是首项为$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，由此能求出在有穷数列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和不小于$\frac{63}{64}$的概率．

解答 解：∵f（x）、g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），
∴[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′′=$\frac{{f}^{'}（x）g（x）-{g}^{'}（x）f（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，即$\frac{f（x）}{g（x）}$单调递减，
又$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x，故0＜a＜1，
∴由$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=a+$\frac{1}{a}$=$\frac{5}{2}$，得a=$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{f（x）}{g（x）}$}是首项为$\frac{f（1）}{g（1）}$=$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
其前n项和S_n=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ≥$\frac{63}{64}$，
∴n≥6，
∴在有穷数列$\left\{{\frac{f（n）}{g（n）}}\right\}$（n=1，2，…，10）中，任意取前k项相加，则前k项和不小于$\frac{63}{64}$的概率是：
P=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查概率的求法，考查古典概型、等比数列、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．