Question

7．已知$cosβ=-\frac{1}{3}，sin（{α+β}）=\frac{7}{9}$，其中$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$．
（1）求$tan\frac{β}{2}$的值；
（2）sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系，半角公式求得$\frac{β}{2}$的正弦和余弦值，可得$\frac{β}{2}$的正切值．
（2）先求得sinβ、cos（α+β） 的值，再利用两角差的三角公式求得sinα=sin[（α+β）-β]的值．

解答 解：（1）∵已知$cosβ=-\frac{1}{3}，sin（{α+β}）=\frac{7}{9}$，其中$α∈（{0，\frac{π}{2}}），β∈（{\frac{π}{2}，π}）$，∴$\frac{β}{2}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴sin$\frac{β}{2}$=$\sqrt{\frac{1-cosβ}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cos$\frac{β}{2}$=$\sqrt{\frac{1+cosβ}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，tan$\frac{β}{2}$=$\frac{sin\frac{β}{2}}{cos\frac{β}{2}}$=$\sqrt{2}$．
（2）由（1）知，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），∴cos（α+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{7}{9}•（-\frac{1}{3}）$-（-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$）•$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式，两角差的三角公式的应用，属于基础题．