题目内容

15.在平面直角坐标系xOy中,设圆C的方程为(x-a)2+(y-2a+4)2=1.
(Ⅰ)若圆C经过A(3,3)与B(4,2)两点,求实数a的值;
(Ⅱ)点P(0,3),若圆C上存在点M,使|MP|=2|MO|,求实数a的取值范围.

分析 (Ⅰ)设圆C的圆心(x,y),则$\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=2a-4\end{array}\right.$即圆C的圆心满足y=2x-4.由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$,得圆心C(3,2),即可得出结论.
(Ⅱ)设点M(x,y),通过|MA|=2|MO|,化简,利用点M(x,y)在圆C上,推出|2-1|≤|CD|≤2+1,求解即可.

解答 解:(Ⅰ)由题意kAB=-1,线段AB的中点为$(\frac{7}{2},\frac{5}{2})$,
故线段AB的中垂线方程为$y-\frac{5}{2}=x-\frac{7}{2}$即y=x-1.
设圆C的圆心(x,y),则$\left\{\begin{array}{l}x=a\\ y=2a-4\end{array}\right.$即圆C的圆心满足y=2x-4.
由$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$,得圆心C(3,2),即a=3.
(Ⅱ)点M(x,y),因为|MA|=2|MO|,
所以$\sqrt{{x}^{2}+(y-3)^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,
所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上
所以点M应该既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有公共点.
因此$|{2-1}|≤\sqrt{{a^2}+{{[{(2a-4)-(-1)}]}^2}}≤|{2+1}|$
由5a2-8a+8≥0得a∈R;由5a2-12a≤0得$0≤a≤\frac{12}{5}$,
因此所求实数a的取值范围是$0≤a≤\frac{12}{5}$.

点评 本题考查圆的方程的应用,直线与圆的位置关系,考查分析问题解决问题的能力.

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