Question

【题目】已知函数是偶函数.

（1）求证：是偶函数；

（2）求证：在上是增函数；

（3）设（，且），若对任意的，在区间上总存在两个不同的数，，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】分析：（1）直接利用奇偶性的定义证明即可；（2）设，则 ，分解因式可得，从而可得结论；（3）由（1）和（2），得在上是减函数，则，当时，结合函数图象可得，解得，即；当时，直线与函数的图象没有交点，不合题意，从而可得结果.

详解：（1）函数的定义域为，

因为，

所以是偶函数.

（2）证明：设，则

.

由，得，，，

所以，即，

所以在上是增函数.

（3）解：由（1）和（2），得在上是减函数，则.

.

当时，的值域为.

当直线与函数的图象有两个交点时，

，解得，即.

当时，的值域为，而，

所以直线与函数的图象没有交点，此时不符合题意.

综上，所求的取值范围是.