Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若，试讨论关于的方程 的解的个数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时， 无极值；当时， 有极小值，无极大值。（2）唯一解

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而写出函数的极值；（2）令， ，问题等价于求函数的零点个数，通过讨论m的范围，判断即可.

试题解析：

（1）依题意得， ，

当时， ，故函数在上单调递增， 无极值；

当时，令， 或（舍）

当时， ，函数在上单调递减；

当时， ，函数在上单调递增.

故函数有极小值.

综上所述：当时， 无极值；

当时， 有极小值，无极大值.

（2）令， ，问题等价于求函数的零点个数.

易得

当时， ，函数为减函数，因为， ，所以有唯一零点；

当时，则当或时， ，而当时， ，

所以，函数在和上单调递减，在单调递增，

因为， ，所以函数有唯一零点.

综上，若，函数有唯一零点，即方程方程有唯一解.