Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO

而EO平面EDB且PA平面EDB，

所以，PA∥平面EDB

方法二：证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG

依题意得

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为 且

∴ ，这表明PA∥EG

而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB

（2）解：方法一：证明：

∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴DE⊥PC ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC

而DE平面PDC，∴BC⊥DE ②

由①和②推得DE⊥平面PBC

而PB平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD

方法二：证明；依题意得B（a，a，0），

又 ，故

∴PB⊥DE

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD

（3）解：方法一：解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角

由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB

设正方形ABCD的边长为a，则 ，

在Rt△PDB中，

在Rt△EFD中， ，∴

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为

方法二：解：设点F的坐标为（x0，y0，z0）， ，则（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）

从而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a

所以

由条件EF⊥PB知， ，即 ，解得

∴点F的坐标为 ，且 ，

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角

∵ ，且 ， ，

∴

∴

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为 ．

【解析】方法一：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用正弦函数即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明 ，这表明PA∥EG，可得结论；（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；（3）确定∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．